微积分的本质是解决什么问题?

感谢邀请!

好,在继续讲解微积分的理论之前,先给大家讲一下它的用途(当然,无用之物学它作甚!)用途太多了!只举一例,比如说你要设计两个齿轮的啮合(变速箱里面一定有吧),那么“齿”的形状应该是怎样的才合理?都是三角形吗?那对不起,低速运转应该还可以,而高速旋转呢?齿轮会很快被打碎,至少也是噪音极大不是。对,齿的外缘形状应该是某种曲线是吧,这就是微积分给计算出来的,当然齿轮的精密机加工又另当别论。

所谓函数的“连续”,就是当自变量只有非常小的变化时,函数值也只能有非常小的变化。



↑辽塔介绍

进一步,实数还有度量属性(也就是距离),因此就可以给出“变化率”这个概念,即导数。大家总是被高等数学(也就是微积分)中的一大堆概念所吓到,其实无非就是函数的“导数”跟“积分”这两个最基本的概念(注意都是函数的计算),等。那为什么在高数课的开头要讲那么多让人迷惑的“极限”概念呢?这样说吧,其实是有两种高数或者说微积分的理论,一种是直观的,另一种则是逻辑严格的(加入了极限概念,特别是让几乎所有学生抓狂的那个定义:“任给啥,则存在啥,使得啥”的抓狂言词。当然,如果你打算真正学习纯粹数学,则这些定义必须完全理解)。讽刺的是,早年根本就没有严格的微积分,而只有直观的微积分,并且这个“直观”一词的本身就向你暗示了一个事实:正是基于直观性(以及笛卡尔坐标的几何背景),才使得微积分诞生!总结上面所说的意思就是:“直观”使我们诞生了微积分,而后来的“严格”只是后知后觉地评判:嗯,它是正确的。

假设,水平距离的有函数X(t),垂直距离的函数为Y(t),那么我们知道X(t)和Y(t)的导数可以理解为水平和垂直的瞬时速度,那么瞬时速度就可以看做如下求得:

今天下午去县城溜达,去辽塔拍了几张照片,供全国各地的好友分享~

解题的时候,我们往往会假设一个值,然后去推理,这在我们现实生活中不也经常这样的吗?

一、我常常在想,我们在学校学习了那么多年,到底学到了什么?又有哪些东西直接用得上?

两人为此争论好多年并将英国、德国政界也引入这场大争论。

三、假如高中以后就进入社会工作,是不是既省钱还能挣钱养家啊?学制是否要缩短,教育是否要革命………?现实中确实有很多职业教育被早早引进。

其实,在0和1之间还有无数种可能!在黑与白之间也同样有无数的灰色地带!微分就是告诉你,事情可以一直一分为二的解剖分析下去……,积分就是事物的发展有一个渐变积累的过程……!坏人不是一天就坏的!着火了也不是一下子就会被烧死的!车祸也是有个过程的,这些都给我们以机会来改变事物的发展方向……,在单位,领导布置工作,有些人就说做不到,其实,做不做得到是有一个梯度的,我也许不能做到完美但我至少也能基本完成,60分和100分之间有很多可能。

微积分的第一本教科书在1696年出版的,我们现在使用的微积分这一名称以及符号都是莱布尼兹创立的。

就可以通过微积分算出椭圆的面积公式。

计算体积

数学其实是一种思考问题解决问题的一种思维训练,很多人(学生和老师)把学习(教)数学当成是高考的阶梯,并没有去告诉学生这些东西其实对我们以后的生活有意义,

首先说一点,微积分是(主要是)研究函数(等同于函数曲线)的,而函数如大家知道,就是数到数之间的“对应”,但这只利用了数的“集合”属性;另一方面,数还有“拓扑”属性(可以理解为实数的大小顺序),而拓扑就可以给出函数的“连续”概念。

————神州风土物产 品读魅力神州————

与其考察整个家庭,整个家族的宏观品行,


↑艾萨克.牛顿(1643-1727)

宇宙(时空)是复杂多变的,千变万化的世界对人类来说是难于认识并加以改造的。

是。说发明比较恰当。数学是一种工具。数学做为工具,也就意味着可能还会有新的工具,也即新的数学等待着我们去发明。做为工具,数学是解释客观事物的科学规律用的,对于同一客观事物,解释它的工具可以有多种,但它的科学规律只能有一个,发现了一个就不可能发现第二个了。数学是可以发明第二种或第三种数学的,只不过人们没有那么做,人们是通过不断地改造第一种数学,使其适应更高科技需要的。数学也因此越改越复杂,无论是数学还是它所解释的科学也变得只有少数人能理解了。从这个意义上讲,高等数学尤其微积分并不是解释科学的最好工具,而是把科学复杂化、小众化的罪魁。

这么说吧:微积分解决的是数学基础上的一个重大缺陷问题。这里所谓\”基础\”指的是数学中的自然数,其\”缺陷\”指的是:一维的自然数不能很好地表达在二维序级上发生的事物(如,加速度等)。这个缺陷是天生的,古老的,甚至可以叫原始的,因为我们不能指望远古人类在发明自然数的时侯,会预想到几万年以后的牛顿或莱布尼茨要用它去解决抛物线之类的问题。考虑微积分的问题,古人就不会发明出现在的数。我还想大胆地说:未来的人们若发明出某种非自然数的二维序级(如:\”0、1、4、9、16、…\”)的数并应用于科学,就用不着什么微分或积分的了,因为在几何上,这类数的线性特征所反映的本身就是非线性问题。牛顿也好,莱布尼茨也罢,都没有试图去发明类似这种新序级上的数以彻底解决非线性问题,而是十分巧妙地利用所谓极限的概念在自然数的框架下将此类问题糊弄过去了,这也是至今人们对微积分仍存杯葛的原因。

积分的本质就是无限划分求和的过程,如果知道函数f(x)的曲线,那么面积就可以用微积分的方式去求得。如下图:

微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

曲线,可以被分解成无限个小段,也就是说如果把炮弹的轨迹无限划分,在一个无限小的时间内,运动轨迹等于瞬时速度乘以时间,那么瞬时速度是水平和垂直速度的合成。

后人为了纪念两位伟大的科学家,将定积分公式称为 牛顿—莱布尼兹公式,并将牛顿放在第一位。

今天是农历丁酉鸡年的最后一天了,明天就是农历戊戌年春节了。今天从长春回老家农安(古城黄龙府)农村过年,我在遥远的黄龙府给各位头条好友、粉丝拜年了!祝愿大家在新的一年里身体健康!万事顺意!

微分学本质是对世界万物微小变化程度的度量,以便根据变化程度做出决策。

但是现实生活中,水池底部洞的流量量是多少取决于水压,而水压又取决于水位高度。而水位高度变化反过来又取决于洞的泄水量!

然而就是“无穷小”这个概念在逻辑上造成了极大的困惑(甚至于是所谓的第二次数学危机)!

这个问题问的非常好!我来回答,微积分解决的是数学知识与现实实际数学应用的联系的问题!没有微积分,数学知识永远是理想化,比如:数学解决规则的几何体的体积、表面积,但现实世界中几何体99.9999%都是不规则的,包饺子的擀面杖能是圆柱体吗?还有车子的轮胎能是圆环体吗?(上路摩擦后更不均匀)这些问题都需要积分解决!公里数与速度做的函数不是规则函数,需要微分解决!※如果上面说的很说明问题了的话,那我现在要说的和刚才说的比,上面不值得一提:物理是自然科学,数学是物理的工具,比如:E=mc² (质能方程),这个物理定律,如果没有微积分运算算出来,永远只是理论,而不能出线核物理、核能源、核武器、核应用……

莱布尼兹则是通过几何方法发现微积分的,他关于微积分的第一篇论文发表于1684年,1686年,莱布尼兹又发表了另一篇论文,阐述了积分的微分法则,并引进了积分符号。此后数学进入了一个成果倍出的时期。

无穷小,它是那样的直观,但却又那样的让逻辑严谨者们反感。我们可以这样理解“无穷小”,比如说你是在考察地球的质量,现在把一个粉笔头抛到外太空,则地球的质量没有任何变化 ,也就是说,粉笔头相对于地球的质量而言是一个“无穷小量”。

由此可见,简单的水池底部洞的出口水量,是一个随时间连续变化的量,不是一个固定常量!先不考虑上洞的注水问题,单单计算下洞何时把池水排空,就需要极其复杂的运算。这个所谓极其复杂的运算,就是积分。

解题的时候,你会发现,等式的两边,一边XYZ和一些常数加减乘除后,另一边总是等于零。是不是有点像佛教里的色即是空呢!是不是也像天文学中宇宙的起源呢?无中生有!本来零等于零的,后来我们左右两边同时加减乘除后,一移项就有了左边万千的世界,但总归是零,人的一生不也是一样的道理吗?生不带来 死不带去!

我国古代易经(连山(佚)、归藏(佚)、周易)即蕴含该思想。

四、现实生活中,芸芸众生里确实有很多人的观点幼稚而单纯,比如,他们总是认为,不是黑就是白,不是坏人就是好人!不是错就是对,能做到与不能做到………!用数学的语言表达就是0和1。

举个栗子,

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物理学中的应用也很多,牛顿第二定律F=ma可以用冲量=动量的微积分推导。宇宙第二速度和降落伞原理也可以用微积分推导出来。

类似于面积的应用,比如说一个桶装满水,底圆面积为A,高为y,在底部有一个洞出水,在过了n秒后,桶内水的体积。这些问题先找关系,列出函数表达式,然后用积分求解。

微分在于度量“变化”——观其“变”,积分在于度量“积累”——查其“藏”。

这就是数学与微积分,理想与现实的区别!

微积分的应用还有很多,这里就简单的介绍几个。喜欢的话,请点击订阅。每天都有料的“逃学博士”。

著名的数学家陈省身在他的微分几何一书中也极力避讳 dx 的解释,由此让学习者困惑异常,没有直观的讲解,就难免让学习者遇到这样的困惑(讽刺的是,他们都知道这个“无穷小”到底是什么,但是都避讳说这事)。dx 首先就是无穷小,然后它又是张量(你如果把张量理解了,那么微分几何对于你来说就很容易学会)。

可以说战争促进了微积分的发展,我们知道炮弹的轨迹是一个抛物线,那么怎么去精确计算炮弹的轨迹和落点是战争中需要解决的问题。通过微积分,可以完美解决。

一个家庭的特征,可以抽取其中家庭成员的为人处世,品质特征,进行衡量。

我是在离开了学习微积分的学校,工作了很多年以后,经过多年的观察和思考,才慢慢从哲学的层面上理解了微积分!并在返回母校的演讲中,对学习数学有什么用的问题上表述了自己的观点,得到了大家的认可。提高了大家主动学习的兴趣。

下面继续我们的讲解。大家都知道自由落体吧,是的,下落距离一定是跟时间相关联,也就是距离是时间的函数对应。那么这个函数对应是什么?很显然,建立起了这个函数,就知道了自由落体的运动规律。现在时间是 t 的时刻,距离是 s (显然 s 就是 t 的函数),由此时间又流逝了一个非常小的时间段 dt,则相应地有一个下落的间隔距离 ds,虽然我们知道下落速度是越来越快,但在非常小的时间间隔内,速度的变化就会非常小(可以认为没有什么变化),那么 ds/dt 当然就是此刻的速度了,也就是瞬时速度。现在我们想象把上面的“非常小”改为“无穷小”,则得到的结论就必然是精确值!这就是导数!

二、语文(外语)数学这两门课始终贯穿我们整个学习过程。语文的作用自不必说,但是数学(算术)除了买菜用得着,(高等数学)好像对我们生活并没有什么直接的影响!

可惜,笨的人有两种,一种是没有读书,一种是读死书!当然,教书的人可能自己都没有真正理解数学在生活中的意义,他们把数学当成一种智力游戏,当成养家糊口的一种谋生手段,当成是高考加分的办法,考完了,也就忘记了!

那么,整个轨迹可以用积分:

微积分是高等院校理、工、经等学科的必修课,是大学最重要的基础课。学习微积分过程是对人的思维方式的再造、重塑、开悟的过程。

展开的应用,太多了,理解了本质,就显得简明多了。

如果你对微积分的发展有兴趣,可以看我刚发的文章“数学四神兽之首”芝诺小乌龟“的前世今生和微积分的出现”,还有我对其他关于微积分问题的回复。

好,现在知道了公式 v=ds/dt,也就是“瞬时速度”的概念即导数的概念。

解决非线性的变量的逼真。

现在确定,牛顿和莱布尼兹是各自独立地发明(现?)了微积分。牛顿在1665-1666年之间发明了流数法,但在1704年才发表结果;莱布尼兹在1673-1676年之间作出发现,并分别于1684年和1686年发表了两篇论文,并将该理论体系化、规范化。

(下一次讲“弹簧的变力做功”问题,也就是积分)

…………!有太多太多这样的例子证明数学对我们生活,对解决问题有直接的作用……

这个问题问的非常好,不问一个具体的问题而是探究数学工具的本质。这个问题我也考虑过并且思考了好多年,我仅谈谈自己的粗浅认识。

上述解答满意吗?



↑仰望辽塔

不如抽取其中有代表性的人物,进行具体评估。

提起微积分,不得不提到牛顿和莱布尼兹,两位伟大的科学家都宣称自己发明(现?)了微积分。

至于微积分可以解决什么问题,我在这大致回复一下:

计算曲线长度

积分学本质是对变化中的世间万物 变化的累积程度的度量,以便根据累积程度做出决策。

欢迎各位关注头条号———神州风土物产,可以交流天文地理、风土人情、历史人文、各地物产、五行八作、三教九流,可以格物致知,亦可 品经悟道…………

看到不少网友的议论都很有意义!这里从思想方法论的层面来谈这个问题。我们的革命导师马克思恩格斯对那个时代为科学技术取得丰硕成果的微积分很感兴趣,并下功夫认真的学习体会,认为微积分的发现是数学对人类社会最大的贡献。恩格斯在他的著作"自然辩证法"里写道:笛卡儿的变量是数学中转折点。因此运动和辩证法便进入了数学….。初等数学、即常数的数学,至少就总的说来,是在形式逻辑的范围内活动的,而变量的数学,尤其最重要的部分是微积分,按其本质来说也不是别的,而是辩证法在数学方面的应用。

特征包容,或者叫做维度包容,

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计算图形面积

牛顿是从运动学的观点作出这一发现的,他称之为“流数理论/流数法”。他的方法是:对于给定的方程,把每个变量,如x,换为x + x’0,再与原方程相减,两边同除以0;因为0是无穷小量,与其相乘的项均可忽略不计,去掉这些项,就得到了关于流数x’的等式。


↑戈特弗里德.威廉.莱布尼兹(1646-1716)

椭圆可以表示为:

()

我认为:

微积分是近代科学技术最重要、最基本的数学工具,更是一种深邃的哲学思想。

是解决实际问题。什么是实际问题呢?举个例子,水箱底部钻一个洞,水从洞口流出。在水箱顶部凿一个洞,让水从洞口流入。一般情况下,我们只要知道两个洞口都流入流出流量,就可以精确计算最迟什么时候被注满。这通常是小学里的数学题。

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莱布尼茨,牛顿是微积分学科发展的两个重要推动者、发现者。

导数,最直接的特征,可以通过给方程降幂,降指数,来描述原方程的各种特征。

学习微积分的一个基本概念就是无穷小量,它的本质是一个不断变化的与0无限接近的变量,可以永远𣎴等于0。其它极限都可归结为无穷小量,也即是0为极限的变量,但是牛顿的辩证思想还是不足的,认为它是0又不是0。微积分辩证思想在于不是孤立地研究某个变量而是在它们的紧密联系中研究。於是由非勻速运动质点的走过的距离由无穷小量方法求瞬时速度。(微分)逆运算(积分)则可求距离。类似的求曲线斜率(求导)逆运算求曲线下面积。(定积分)。对于连续可微的自变量的一个微小变化引起函数的变化量可用这点的导数乘以这个改变量。而微积分里泰勒展开公式可以计算函数,更体现了这种思想。这个幂级数在这点的各级导数与原函数在这点的各级导数一致。自然应该认为两个函数离开这点的变化应该比较贴近。微积分正是由于这种先进的辩证思想指导,在初等数学无法解决的问题在这里迎刃而解。

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